Dengan induksi matematika 5n 3n habis dibagi? Soal ini tentu akan ditemui pada materi barisan aritmatika. Soal tersebut dapat ditemui di latihan soal baik itu pada Sekolah Menengah Pertama maupun Sekolah Menengah Atas.
Di bawah ini akan menjawab soal tersebut agar peserta didik dapat paham mengenai materi barisan aritmatika. Tentu soal-soal sudah berkembang sesuai dengan kompetensi yang diterapkan oleh sekolah.
Soal
Dengan induksi matematika 5n 3n habis dibagi…
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Jawaban
Dengan induksi matematika 5n 3n habis dibagi A. 2
Diketahui:
Misalkan P(n) = 5ⁿ-3ⁿ
(i) untuk n = 1 maka P(1)=5¹-3¹=2 habis dibagi 2. Ini merupakan pernyataan yang benar.
(ii) Sedangkan untuk n = k andaikan P(k)=5^k-3^k benar.
(iii) akan ditujukan untuk n = k+1 maka p(k+1). Ini merupakan pernyataan yang benar.
5^(k+1)-3^(k+1).
Sehingga diperoleh = 5¹5^k-3¹3^k
= [4(5^k)-2(3^k)]+[5^k-3^k]
= 2[2(5^k)-(3^k)]+[5^k-3^k]
Terjawab bahwa 5^k-3^k habis dibagi 2 dan 2[2(5^k)-(3^k)] juga habis dibagi 2 karena kelipatan 2.
Pembahasan
Untuk membuktikan bahwasanya 5n 3n habis dibagi 2 adalah dengan menggunakan metode induksi matematika. Teknik ini digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berhubungan dengan bilangan asli.
Pembuktian dapat menghasilkan kesimpulan yang sifatnya umum. Dari teknik ini ada dua jenis yang selalu digunakan untuk menghasilkan kesimpulan secara umum yang biasa disebut penalaran. Penalaran tersebut ada deduktif dan induktif.
Adapun untuk penalaran deduktif sendiri adalah penalaran yang sering untuk menyatakan pernyataan khusus yang bersifat umum. Penalaran ini pendekatannya dimulai dari hal yang luas lalu disimpulkan ke hal yang khusus.
Sedangkan untuk induktif diberlakukan untuk memulai sebuah pernyataan khusus dan lanjut pada pernyataan umum. Hal ini dikarenakan pernyataan sudah disusun dari hal yang paling utama baru diberlakukan untuk umum.
Induksi Matematika Sederhana
Langkah dasar pada induksi matematika sederhana perlu dipahami oleh peserta didik agar mengetahui kebenaran dari sebuah pernyataan. Setiap bilangan asli tentu memiliki pernyataan dan pembuktiannya, berikut langkah-langkah yang wajib disimak:
- Pertama penerapan langkah dasar yang membuktikan bahwasanya pernyataan berlaku untuk P1.
- Kedua ada langkah induksi yang menyatakan untuk P ( 1 ) dan harus berlaku juga untuk P ( k ).
Induksi Matematika Diperluas
Pada induksi matematika diperluas langkah dasarnya menyatakan bahwa n merupakan bilangan asli. Hal ini dikarenakan bilangan tidak harus dimulai dari angka 1. Berikut langkah-langkah untuk mengetahui induksi matematika diperluas:
- Pertama penerapan langkah dasar yang membuktikan bahwasanya pernyataan berlaku untuk Pm
- Kedua ada langkah induksi yang menyatakan untuk P ( k ) dan harus berlaku juga untuk P ( k + 1 ).
Sudah terjawab bahwasannya dengan induksi matematika 5n 3n habis dibagi 2. Selain itu di atas juga dijelaskan metode induksi yang digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berhubungan dengan bilangan asli beserta kedua tekniknya yaitu induktif dan deduktif.
